Probability function: P(X=x)，对于discrete random variable可以写为p(x)。
对于continuous random variables，会写成f(x)，称作probability density function.
Cumulative probability function：$$ F(x)=P(X\le x) $$
Uniform Distribution
所有结果的可能性相同就是uniform distribution。pdf是：
$$
\displaylines{
f(x)=
\begin{cases}
\frac{1}{b-a} & a\le x\le b\
0 & otherwise
\end{cases}
}
$$
对于continous random variable来说，任意一个确定的值的probability是0。
CDF是：
$$
\displaylines{
F(x)=
\begin{cases}
0 & \text{if }x < a\
\frac{x-a}{b-a} & \text{if } a\le x \le b \
1 & \text{if } x > b
\end{cases}
}
$$
其中积分过程是：
$$
\displaylines{
F(x) = \int_{a}^{x} \frac{1}{b-a} , dt = \left. \frac{t}{b-a} \right|_{a}^{x} = \frac{x-a}{b-a}
}
$$
引申出来对于所有的连续随机变量，cdf是：
$$
\displaylines{
P(a\le X \le b)=\int^b_a f(x)dx
}
$$
由于连续随机变量的临界点也是点，所以probability是0，于是：
$$
\displaylines{
P(a\le X \le b)=P(a<X\le b)=P(a\le X < b)=P(a < X < b)
}
$$
Binomial Distribution
Bernoulli trial就是会produce one of two outcomes的trial；假设Y=1代表success的outcome，Y=0代表failure的outcome，那么 $$ p(1)=P(Y=1)=p $$，$$ p(0)=P(Y=0)=1-p $$。
n个Bernoulli trial会有0到n个success；如果每个Bernoulli trial的结果是random的，那么success的数量就是random的，构成binomial random variable。
Binomial ditribution有两个假设：
- p对于所有trail是constant的
- 每个trial是independent的
用n和p就能描述一个binomial distribution：
$$
\displaylines{
X \sim B(n,p)
}
$$
n=1时就是binomial random variable Y。
- 对于n个trials，有x个success就会有n-x个failure
- 给定success的概率是p，那么这种结果的概率就是 $$ p^x(1-p)^{n-x} $$
- n个outcome中满足x个success的组合形式，用组合公式nCx
- 可得binomial ditribution的pdf：
$$
\displaylines{
p(x)=P(X=x)=(^n_x)p^x(1-p)^{n-x}=\frac{n!}{(n-x)!x!}p^x(1-p)^{n-x}
}
$$
Binomial Tree:
需要注意的是：u和d是1+收益率，也就是compound算法。股票价格本身不是binomial的。
平均数和方差：
| Mean | Variance | |
|---|---|---|
| B(1,p) | p | p(1-p) |
| B(n,p) | np | np(1-p) |
n=1，求p等于求均值。
Normal Distribution
Central limit theorem: the sum (and the mean) of a set of independent, identically distributed random variables with finite variances is normally distributed, whatever distribution the random variables follow.
用平均数 $$ \mu $$ 和方差 $$ \sigma^2 $$ 来描述正态分布：$$ X \sim N(\mu,\sigma^2) $$
正态分布的偏度是0（对称的），峰度是3。由于对称性，mean、median、mode相等。linear combination of normal random variables也服从正态分布。
描述单变量的是univariate，多变量则是multivariate。对于multivariate，则是通过：n个mean、n个variance、n(n-1)/2个correlations来定义的。
pdf：
$$
\displaylines{
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} , e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
}
$$
在实际投资里，正态分布1）更适合quarterly或yearly，对weekly和daily不那么合适；2）会有fat tails problem；3）会低估极端情况；4）期权的收益不是对称的，所以对于包含大量期权position的portfolio要小心使用；5）适合return不适合price。
概率（这里的是双侧）：
- 2/3个标准差：50%
- 1个标准差：68%
- 2（1.96）个标准差：95%
- 3（2.68）个标准差：99%
Excel相关函数
NORM.S.DIST(Z,0)其中Z是与mean的标准差距离。如果数字是0那么就是pdf，如果是1就是cdf。
NORM.S.INV(x)计算那个Z值使得其cdf是x（比如5%）：
- 如果要计算90%的observation落在的范围，则要10%/2=5%，用INV算0.05，然后范围是±
标准化
使用Z-Score将normal random variable变成standard normal variable：
$$
\displaylines{
Z=(X-\mu)/\sigma
}
$$
t分布
data一节中提到的sample variance使用的分母是n-1，是因为计算方差时需要先计算样本均值，而这就导致了：以10个observation、均值为10%为例，由于observation是要independent的，但是在independently抽取9个样本之后，总能算出第10个值使得均值是10%；于是所谓“自由度”就只有9。
因此根据样本方差得到z值（这里叫t值）：
$$
\displaylines{
s^2=\frac{\Sigma{(X_i-\bar X)^2}}{n-1} \
t=\frac{\bar X - \mu}{\frac{s}{\sqrt n}}
}
$$
称作：服从mean是0、n-1自由度（df）的t分布。
相比标准正态分布，t分布有更fat的尾；随着df的增加（也就是样本量的增大）会逐渐趋近正态分布的样子。
卡方分布和F分布
这两个都是非对称的。
Chi-square分布，自由度k：k个independent标准正态分布的variable的平方和。
F分布，自由度由m和n两个组成：$$ F=(\chi_1^2/m)/(\chi_2^2/n)$$ ，读作F-distribution with m numerator and n denominator degrees of freedom
Student’s t、卡方和F分布多数用来进行假设检验。t检验测试的是关于mean；卡方测试的是variance；F测试的是variance的相同与否。