序

什么是计量经济学

计量经济学方法

理论 ——> 模型 ——> 计量经济模型（加了随机性和不确定性）

事实 ——> 数据 ——> 加工好的数据

统计理论 ——> 计量经济技术

用计量经济技术，用加工好的数据，估计计量经济模型

计量经济学的主要工作：估计参数；检验基于经济理论或假说的关系式是否成立

计量经济学建模的步骤

$$Q=\alpha + \beta P+\mu$$

引入扰动项$\mu$后就将需求函数变为计量经济模型。线性：参数是线性的，变量都是一次的。

结构参数：截距、截率，无法观测，所以需要获得相关数据来进行估算：时间序列数据和横截面数据

横截面数据：同一时点采集的不同个体的数据（具有随机性）；纵向时间序列数据：等距采集的数据；面板数据：第一次随机选取人群，随后等距连续对同一群人采集

计量经济模型及其应用

古典线性回归模型

$$T=\alpha + \beta x + u$$

n>=3

普通最小二乘法，

$$\hat \beta = \frac{\Sigma x_ty_t}{\Sigma x_t^2}$$ $$\hat \alpha = \overline Y - \hat \beta \overline X$$ $$x_t=X_t-\overline X$$ $$y_t=Y_t-\overline Y$$ $$\overline X=\frac{\Sigma X_t}{n}$$ $$\overline Y = \hat \alpha + \hat \beta \overline X$$

一定在回归直线上

$$(\overline X,\overline Y)一定在回归直线上$$ $$\Sigma x_t=0$$

散点均匀分布于垂直线两侧

$$散点均匀分布于垂直线X=\overline X两侧$$ $$\Sigma y_t=0$$

均匀分布于水平线

$$……均匀分布于水平线Y=\overline Y$$

（目标函数一阶偏导）

$$\Sigma e_x=0（目标函数一阶偏导）$$

均匀分布于回归线左右两侧

$$均匀分布于回归线\hat Y=\hat \alpha + \hat \beta X左右两侧$$ $$\Sigma x_ty_t=\Sigma x_t(Y_t-\overline Y)=\Sigma x_tY_t=\Sigma X_ty_t$$

最佳线性无偏估计量（高斯·马尔科夫定理）

对于古典线性回归模型，

$$Y_t=\alpha + \beta x_t + u_t$$

是总体参数的最佳线性无偏估计量

$$\hat \alpha \quad \hat \beta是总体参数的最佳线性无偏估计量$$

要证明：无偏性（两个参数的数学期望都等于真值）；线性（两个参数都可以表现为被解释变量或扰动项的线性函数）；最佳性（两个参数各自的方差对于其他所有线性无偏估计量都是最小的）

$$\Sigma e^2_t=0$$

证明均值

$$\hat \beta = \frac{\Sigma x_ty_t}{\Sigma x_t^2}=\frac{\Sigma x_tY_t}{\Sigma x_t^2}=\frac{\Sigma x_t(\alpha + \beta X_t+u_t)}{\Sigma x_t^2}=\frac{\alpha \Sigma x_t+\beta \Sigma x_tX_t+\Sigma x_tu_t}{\Sigma x_t^2}=\beta + \frac{\Sigma x_tu_t}{\Sigma x_t^2}$$

两边取期望值（小x非随机）(扰动项均值为0)

$$E(\hat \beta)=\beta + \frac{\Sigma x_t E(u_t)}{\Sigma x_t^2}=\beta$$

所以是的无偏估计量（）

$$所以\hat \beta是\beta的无偏估计量（UE）$$ $$\Sigma x_tX_t = \Sigma x_t(x_t+\overline X)=\Sigma x_t^2+\overline \Sigma x_t$$

由

$$由\hat \alpha = \overline Y - \hat \beta \overline X = \frac{\Sigma Y_t}{n}-\hat \beta \overline X=\alpha + \beta\frac{\Sigma X_t}{n}+\frac{\Sigma u_t}{n}-\hat \beta \overline X$$

令

$$令\overline u = \frac{\Sigma u_t}{n}$$

所以

$$所以\hat \alpha = \alpha + \beta \overline X+\overline u-\hat \beta \overline X$$ $$E(\hat \alpha)=\alpha+\beta \overline X+E(\overline u)-\overline XE(\hat\beta)$$ $$E(\overline u)=E(\frac{\Sigma u_t}{n}=0)$$ $$E(\hat \alpha)=\alpha+\beta \overline X-\beta \overline X=0$$

$\overline Y$

$$\hat \alpha +\hat \beta \overline X$$ $$\alpha+\beta\overline X+\overline u$$

证明线性

线性：两个估计量是观测值$Y_t$的线性函数

因为中

$$因为\hat\beta=\frac{\Sigma x_tY_t}{\Sigma x_t^2}=\Sigma \frac{x_t}{\Sigma x_t^2}Y_t=\Sigma K_tY_t \quad 中 \quad K_t=\frac{x_t}{\Sigma x_t^2}$$$

所以是样本观测值的线性函数，即是的线性无偏估计量

$$所以\hat \beta是样本观测值Y_t的线性函数，即\hat\beta是\beta的线性无偏估计量$$

同理

$$\hat \alpha = \overline Y-\hat\beta \overline X=\frac{\Sigma Y_t}{n}-\frac{\Sigma x_tY_t}{\Sigma x_t^2}\overline X=\Sigma(\frac{1}{n}-\frac{x_t}{\Sigma x_t^2}\overline X)Y_t=\Sigma(\frac{1}{n}-K_t\overline X)Y_t=\Sigma g_tY_t$$

…………

$$\hat\alpha=\alpha + \Sigma g_tu_t$$

证明方差

$$D(\hat\beta)=E(\hat\beta-\beta)^2$$ $$\hat\beta-\beta=\frac{\Sigma x_tu_t}{\Sigma x_t^2}$$ $$\frac{1}{(\Sigma x_t^2)^2}(\Sigma x_tu_t)^2=\frac{1}{\Sigma x_t^2}^2(\Sigma (x_i^2u_i^2+x_ix_ju_iu_j))$$ $$E(\hat\beta-\beta)^2=\frac{1}{\Sigma x_t^2}^2(\Sigma x^2_iE(u_i^2)+\Sigma x_ix_j*E(u_iu_j))$$ $$D(u_i)=E(u_i^2)=\sigma^2$$ $$Cov(u_i,u_j)=E\{[u_i-E(u_i)][u_j-E(u_j)]\}=E(u_iu_j)=0$$ $$D(\hat\beta)=\sigma^2\Sigma k_t^2=\frac{\sigma^2}{\Sigma x_t^2}$$ $$D(\hat\alpha)=E(\hat\alpha-\alpha)^2$$ $$\hat\alpha-\alpha=\beta\overline X+\overline u-\hat\beta\overline X = \overline u-(\hat\beta-\beta)\overline X$$ $$E(\hat\alpha-\alpha)^2=E(\overline u^2)-2\overline XE[\overline u (\hat\beta-\beta)]+\overline X^2E(\hat\beta-\beta)^2=\sigma^2\frac{\Sigma x^2_t+n\overline X^2}{n\Sigma x_t^2}=\sigma^2\frac{\Sigma x_tX_t+\overline X\Sigma X_t}{n\Sigma x_t^2}=\sigma^2\frac{\Sigma (x_t+\overline X)X_t}{n\Sigma x_t^2}=\frac{\sigma^2\Sigma x_t^2}{n\Sigma x_t^2}$$ $$D(\overline u)=E(\overline u^2)=D(\frac{\Sigma u_t}{n})=\frac{n\sigma^2}{n^2}$$ $$=\sigma^2\frac{\Sigma x^2_t+n\overline X^2}{n\Sigma x_t^2}=\sigma^2\frac{\Sigma x_tX_t+\overline X\Sigma X_t}{n\Sigma x_t^2}=\sigma^2\frac{\Sigma (x_t+\overline X)X_t}{n\Sigma x_t^2}=\frac{\sigma^2\Sigma x_t^2}{n\Sigma x_t^2}$$ $$Cov(\hat\alpha,\hat\beta)=E[(\hat\alpha-\alpha)(\hat\beta-\beta)]=E\{[\bar u -(\hat\beta-\beta)\overline X](\hat\beta-\beta)\}=-\overline X E(\hat\beta-\beta)^2-E[\bar u (\hat\beta-\beta)]=-\frac{\bar X\sigma^2}{\Sigma x_t^2}$$

最佳性

证明的方差小于等于其他任一线性无偏估计量的方差

$$证明\hat\beta的方差小于等于其他任一线性无偏估计量的方差$$

设：任一线性无偏估计量为，满足线性条件

$$设：\beta任一线性无偏估计量为\beta^*，满足线性条件$$ $$\beta^*=\Sigma w_tY_t$$

无偏性：可视为常数（非随机）

$$无偏性：w_t可视为常数（非随机）$$ $$E(\beta^*)=E(\Sigma w_tY_t)=\Sigma w_tE(\alpha + \beta X_t+u_t)=\Sigma w_t(\alpha + \beta X_t)=\alpha \Sigma w_t + \beta \Sigma w_tX_t=\beta$$

所以

且

$$\Sigma w_t=0且\Sigma w_tX_t=1$$

因为

$$D(\beta^*)=D(\Sigma w_tY_t)=\Sigma w_t^2D(\alpha+\beta x_t+u)=\sigma^2\Sigma w_t^2$$ $$\Sigma w_tX_t=\Sigma(w_t(x_t+\overline X))=\Sigma w_tx_t+\overline X \Sigma w_t=\Sigma w_tx_t=1$$ $$D(\beta^*)=D(\Sigma w_tY_t)=\Sigma w_t^2D(\alpha+\beta x_t+u)=\sigma^2\Sigma w_t^2$$ $$D(\beta^*)-D(\hat\beta)=\sigma^2\Sigma w_t^2-\sigma^2/\Sigma x_t^2=\sigma^2(\Sigma w_t^2-\frac{1}{\Sigma x_t^2})=\sigma^2(\Sigma w_t^2-2\frac{1}{\Sigma x_t^2}+\frac{1}{\Sigma x_t^2})=\sigma^2(\Sigma w_t^2-2\frac{\Sigma w_tx_t}{\Sigma x_t^2}+\frac{\Sigma x_t^2}{(\Sigma x_t^2)^2})=\sigma^2(\Sigma w_t^2-2\Sigma \frac{w_tx_t}{\Sigma x_t^2}+\Sigma (\frac{x_t}{\Sigma x_t^2})^2)=\sigma^2\Sigma(w_t-\frac{x_t}{\Sigma x_t^2}) \geq 0$$ $$D(\beta^*)=D(\Sigma w_tY_t)=\Sigma w_t^2D(\alpha+\beta x_t+u)=\sigma^2\Sigma w_t^2$$ $$\Sigma w_t^2=\Sigma(k_t+(w_t-k_t))^2=\Sigma k_t^2+\Sigma(w_t-k_t^2)+2\Sigma k_t(w_t-k_t)=\Sigma k_t^2+\Sigma(w_t-k_t^2) \geq \Sigma k_t^2$$ $$\Sigma k_t(w_t-k_t)=\Sigma \frac{x_t}{\Sigma x_t^2}(w_t-\frac{x_t}{\Sigma x_t^2})=\frac{\Sigma x_tw_t}{\Sigma x_t^2}-\frac{\Sigma x_t^2}{(\Sigma x_t^2)^2}=0$$ $$\hat\alpha=\overline Y - \hat\beta \bar X=\frac{\Sigma Y_t}{n}-\frac{\Sigma x_tY_t}{\Sigma x_t^2}=\Sigma g_tY_t=\alpha + \beta \bar X+\bar u-\hat\beta\bar X=\alpha + \bar u -(\hat\beta-\beta)\bar X=\alpha + \Sigma g_tu_t$$ $$\hat\alpha=\alpha + \Sigma g_tu_t=\alpha$$ $$D(\hat\alpha)=\Sigma g_t^2D(u_t)=\sigma^2\Sigma g_t^2=\frac{\sigma^2\Sigma x_t^2}{n\Sigma x_t^2}=\sigma^2\Sigma(\frac{1}{n}-\frac{x_t}{\Sigma x_t^2}\bar X)^2=\sigma^2(\frac 1 n+\frac{\bar X^2} {\Sigma x_t^2})$$

设任一无偏估计量为满足线性，视为任意常数

$$设\alpha任一无偏估计量为\alpha^*=\Sigma h_tY_t满足线性，h_t视为任意常数$$ $$E(\alpha^*)=E(\Sigma h_tY_t)=\Sigma h_t (\alpha + \beta X_t)=\alpha \Sigma h_t + \beta \Sigma h_tX_t = \alpha$$

显然

且

$$\Sigma h_t=1且\Sigma h_tX_t=0$$ $$D(\alpha^*)=D(\Sigma h_tY_t)=\Sigma h_t^2D(Y_t)=\sigma^2\Sigma h_t^2=\sigma^2\Sigma h_t^2 \geq \sigma^2 \Sigma g_t^2 = D(\hat\alpha)$$

令

$$h_t=g_t+(h_t-g_t)$$ $$\Sigma h_t^2=\Sigma [g_t+(h_t-g_t)]^2=\Sigma g_t^2+\Sigma(h_t-g_t)^2+2\Sigma g_t(h_t-g_t)$$ $$\Sigma g_t(h_t-g_t)=\Sigma g_th_t-\Sigma g_t^2=\Sigma (\frac 1 n - \frac{x_t}{\Sigma x_t^2}\bar X)h_t-\Sigma g_t^2=\frac {\Sigma h_t}{n} - \frac{\Sigma x_th_t}{\Sigma x_t^2}\bar X=\frac 1 n+\frac{\bar X^2}{\Sigma x_t^2}=\frac{\Sigma X_t^2}{n\Sigma x_t^2}$$ $$\beta=\Sigma k_tY_t$$

补充

非随机的多数情况下可以视同常数